Explicitando As Ondas Descritas Por Um Modelo De Águas Rasas AtravÉs Da Linear AnÁlise

Camila Monteiro Scholant, Bruno Moreira Texeira, Fernando Luis Dias

Resumo


Introdução: O estudo de escoamentos de fluidos líquidos, como a água, tem sido estudado matematicamente desde o século XVII. A base matemática da teoria do escoamento de fluidos foi estabelecida por Bernoulli e Euler. A equação de Euler para escoamentos de fluidos incompressíveis apresenta termos não lineares que dificultam o seu tratamento analítico sob condições auxiliares arbitrarias. No caso 2-D, a existência global de soluções clássicas foi estabelecida por T. Kato em 1967. A existência de soluções clássicas em 3-D permanece ainda um problema em aberto. As equações de Euler que descreve o movimento de um fluido no qual, a ordem de grandeza da escalas do movimento vertical é muito menor que a ordem de grandeza da escala dos movimentos horizontal, recebem o nome de equações de águas rasas. As equações de águas rasas possuem inúmeras aplicações, mas são especialmente importantes nas simulações em baías, estuários e oceanos. Estas simulações são normalmente usadas para prever as oscilações das marés permitindo com isso um planejamento eficaz em áreas litorâneas, quer para fins de ocupação urbana, transporte e do controle da qualidade da água. Por apresentar grandes dificuldades quanto ao tratamento analítico, às equações de águas rasas são estudadas sob o ponto de vista numérico. A elaboração de esquemas numéricos eficazes requer, dentre outros, um conhecimento a priori do tipo de equações usadas no modelo e dos tipos de ondas que o mesmo descreve. Material e Métodos: A análise linear das equações de águas rasas é feita do seguinte modo: primeiro fixamos os coeficientes das derivadas parciais e das funções incógnitas, depois procuramos as soluções das equações na forma harmônica. Ao fixarem os coeficientes nas equações, essas se tornam lineares. Por isso, quaisquer condições iniciais podem ser desenvolvidas em séries de Fourier na forma complexa. A solução para cada harmônica pode ser procurada em separado. Considerando que o modelo de águas rasas deduzido das equações de Euler, possui três equações e três incógnitas, a sua estrutura linear junto com forma harmônica da solução, permitem reduzir o modelo de águas rasas a um sistema de equações algébricas lineares homogêneas. Como as amplitudes e as freqüências da solução dependem dos números de ondas, a condição de que o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema permite calcular as freqüências em função dos números de ondas e dos coeficientes das amplitudes. Resultados e Discussão: A análise linear das equações de águas rasas tem sua aplicação na elaboração de esquemas numéricos porque oferece resultados de casos limites para valores característicos dos coeficientes. O conhecimento dos tipos de ondas subsidia o analista numérico quando da elaboração de métodos de aproximados porque permite um tratamento mais efetivo de cada termo da equação quanto ao tipo e ordem de aproximação usada. A análise da estabilidade numérica do esquema, feita a priori, permite uma seleção criteriosa do tipo de esquema numérico a ser usado na aproximação. Isto permite avaliar os esquemas numéricos quanto à memória de maquina utilizada, tempo de computação gasto e descrição dos fenômenos. Conclusões: Através da análise das equações lineares, conclui-se que o sistema de águas rasas apresentam comportamento ondulatório, isto é, suas equações são hiperbólicas e descrevem ondas mistas do tipo gravitacional-inercial-advectiva. Orgão de Fomento:

Palavras-chave


Águas Rasas, Ondas Mistas, Análise Linear

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